Diseño de figuras

Tipos de Pliegue

• Pliegues axiales: Del inglés axial creases. Son aquellos que en la figura final quedan alineados en el eje de simetría del modelo.

• Pliegues bisagra: Del inglés hinge creases. Son los pliegues límite entre una solapa o apéndice de papel y otra, en la figura terminada. Perpendiculares a los ejes axiales.

• Pliegues cresta o cima: Del inglés ridges creases. Suelen ir en el contorno y perímetro de la base terminada.

Estos conceptos son independiente de las técnicas de diseño.

Técnicas de diseño

Empaquetado de círculos

Todas las técnicas de diseño enfocan el diseño de la figura pensando en la figura desdoblada, una hoja cuadrada con todos los dobleces valles y montes en ella, lo que se denomina como crease pattern o patrón de doblado (uno de ellos se puede ver en la figura de los teoremas y axiomas del origami)

Existen muchas técnicas de diseño, la mayoría inventadas en los últimos 50 años, entre las cuales Robert Lang clasifica en:

División de puntas: Del inglés splitting points. Consiste en dividir una solapa en dos o más solapas dividiendo un punto. La desventaja es que las solapas finales son más cortas que la original. Es muy útil para crear dedos en patas o manos de seres vivos. 

Injerto: Del inglés grafting. Consiste en ampliar las características de una base añadiéndole otras. A partir de un cuadrado principal, añadimos cuadrados más pequeños en las esquinas, como la figura resultante no es práctica, se toma un cuadrado de papel que los contiene a todos. El cuadrado principal será una base principal, los demás serán bases secundarias. El resultado es una base final más compleja que añade características adicionales al diseño básico. Por lo general la técnica produce desperdicio de papel.

Injerto de patrones: Del inglés pattern Grafting. A un modelo básico se le añade un patrón regular, un dobles típico repetido muchas veces que da un efecto profesional. por ejemplo escamas en peces, dragones y caparazones en tortugas. 

Mosaico: Del inglés tiling. Consiste en observar la figura a diseñar y descomponerla en sus bloques más básicos (baldosas) compuestos generalmente por triángulos con dobleces internos. El punto de vista al abordar el problema de diseño es que la hoja de papel no es una sola unidad sino varias unidades flexibles, triángulos que pueden ser separados, rectángulos o ríos que pueden injertarse. Una forma de abordar el problema es imaginar la figura final con un diagrama de palos o segmentos. Después dibujar en el cuadrado los círculos y los ríos (se denominan así porque parecen ríos de papel sin doblar, en medio de los círculos y semicírculos). Posteriormente estudiar el doblado de cada "baldosa" del mosaico para que calce con las otras y dé origen a una secuencia de doblado exitosa. 

Empaquetamiento de círculos: Del inglés Circle packing. Cuando se desea construir una nueva figura, lo primero que se debe hacer es contar el número de solapas que tendrá, por ejemplo si se quisiera diseñar un perro, éste tiene una cabeza, una cola y cuatro patas, por lo tanto la figura debe tener 6 solapas. Cada solapa tiene un largo del radio de un círculo. En el inicio del diseño, en el papel cuadrado se dibujan estos 6 círculos con la restricción de que sus centros siempre queden dentro del papel y que no se superponga un círculo con otro (ver figura). Después se conectan los centros de los círculos contiguos con un doblez. Posteriormente se añaden dobleces secundarios. Finalmente se encuentra una secuencia de doblado que origine el patrón de dobleces. Se consigue así una base para la figura, quedando por añadir tan sólo los detalles.

Moléculas: Del inglés molecules. La moléculas son polígonos, triángulos, cuadrilateros o pentágonos, los cuales si se juntan aseguran que la figura podrá doblarse y colapsarse, dando origen a la figura final. Si se diseñó por empaquetamiento de círculos, las moléculas son la solución para establecer un patrón de doblado de valles y montes.

Teoría del árbol: Del inglés tree theory. Se basa en enfocar el diseño dibujando la figura final como un árbol con ramas, en que cada rama es una solapa. Posteriormente esto dará origen a círculos y ríos en la hoja de papel o bien a polígonos y ríos.

Pliegue en grilla cuadriculada. Del inglés Box pleating. Consiste en empaquetar cuadrados y rectángulos dentro del papel. El CP se ve repleto de líneas verticales y horizontales, las cuales solo pueden tener ángulos de 45° y 90°. Su diseño es muy popular hoy en día porque ha permitido un diseño más sencillo, pero es más ineficiente en el uso del papel que el empaquetado por círculos. La gran mayoría de los insectos y personajes humanos usan esta técnica en solitario o complementada con otras.

Pliegue en grilla hexagonal. Del inglés Hex pleating. Técnica de plegado de hexágonos. Intenta lograr lo mejor de dos mundos: el empaquetamiento de círculos y el de rectángulos. Los ángulos de los pliegues son siempre múltiplos de 30°. No hay un descubridor definido, dado que ha aparecido de forma natural en las convenciones Origami Usa y Japan Origami Academic Association.

Los dos últimos puntos pertenecen a una corriente de diseño llamada Empaquetamiento de polígonos del inglés Polygon packing.

Matemáticas en el origami

Ya desde la misma invención del papel se estaba haciendo ciencia sin saberlo, por casualidad, pero la tecnología, buscaba por necesidad un producto flexible y duradero para escribir. Tratando de encontrar sus funcionalidades le inspiró al hombre este invento.

El origami también tiene una vertiente científica, dependiendo de las preferencias de cada plegador, o de su sistema de creación. Los pliegues no son más que operaciones de simetría, a veces bastante complejas, y pueden ser ideadas y estudiadas metodológicamente en términos geométricos. El carácter matemático que pueda tener el plegado de papel no está reñido con el lado artístico, aunque tampoco tiene por qué coincidir. Por ejemplo del aspecto científico del origami, podemos mencionar a los aficionados que se dedican a demostrar teoremas geométricos utilizando sólo el papel y las hipótesis a punto de ser teoremas, incluso hay trabajos publicados sobre la resolución de ecuaciones de 3.^er grado sólo doblando el papel. Como consecuencia lógica de este campo es la versatilidad que ha dado el origami a la enseñanza en las clases de matemáticas a nivel preuniversitario. Además, el origami ofrece un ingrediente especial, en tanto se incentive al practicante a crear sus propios modelos, se estará despertando y fomentando la curiosidad científica, ya que, como las matemáticas, el origami es infinito.

En los últimos 30 años se han realizado grandes avances en el plegado de figuras por la incorporación de artistas con conocimiento matemáticos, los cuales han creado teoremas y técnicas para diseñar de la forma más eficiente posible con respecto al uso del papel. Es sorprendente lo tardío de estos avances ya que muchos de los teoremas son problemas resueltos y conocidos en el campo de la geometría. Otros como el uso del lagrangeano para minimizar una función sujeta a restricciones es ampliamente sabido desde muchísimos años atrás, pero que no había sido utilizada para resolver diseños de figuras plegadas en papel. Inicialmente los artistas probaban a dar con la figura según su experiencia, ocupando bases típicas sin recurrir a las matemáticas. Actualmente basta aplicar una metodología específica para llegar a nuevas formas. Esta metodología se establece con ayuda de teoremas que resumen lo que es o no es posible llevar a cabo.

Se han realizado numerosos estudios matemáticos acerca del arte del plegado de papel papiroflexia u origami. Los aspectos que han despertado interés matemático incluyen la capacidad de aplastar sin dañar una determinada figura de papel (problema conocido como flat-foldability, o doblez plana), y el uso de dobleces de papel para resolver ecuaciones matemáticas.

Se ha demostrado que algunos problemas geométricos de construcción clásicos, como trisecar un ángulo cualquiera o duplicar el volumen de un cubo cualquiera, no se pueden resolver utilizando regla y compás, pero se pueden resolver bastante fácilmente con unos pliegues de papel. Se pueden realizar pliegues de papel para resolver ecuaciones de hasta cuarto grado y ecuaciones polinomiales – las cuales sólo contienen términos del tipo a_nxⁿ– (los axiomas de Huzita-Hatori son una importante contribución a este campo de estudio).

Como resultado del estudio del Origami a través de la aplicación de principios de geometría, métodos como el Teorema de Haga han permitido doblar precisamente el lado de un cuadrado en tres, cinco, siete y nueve partes. Otros teoremas y métodos han permitido derivar otras formas a partir de un cuadrado, tales como triángulos equiláteros,pentágonos, hexágonos, y rectángulos de características especiales tales como el rectángulo dorado o el rectángulo de plata.

El problema del origami rígido, que trata los pliegues como líneas que unen dos superficies planas rígidas tales como pletinas, tiene gran importancia práctica. Por ejemplo, elpliegue de mapa de Miura es un pliegue rígido que se ha utilizado para desplegar grandes paneles solares de satélites espaciales.

La obtención de un modelo plano a partir de un patrón arrugado es un proceso que Marshall Bern y Barry Hayes han demostrado que es NP-completo. Se discuten referencias adicionales y resultados técnicos en la Parte II de Geometric Folding Algorithms. 

La función de pérdida de doblar un papel en dos en una única dirección se ha determinado como ${\displaystyle L={\frac {\pi t}{6}}(2^{n}+4)(2^{n}-1)}$, donde L es la longitud mínima del papel (u otro material), t es el grosor del material, y n es el número de pliegues posibles. Esta función fue publicada por Britney Gallivan en 2001 (por entonces todavía estudiante desecundaria, que logró doblar una hoja de papel por la mitad 12 veces. Hasta entonces se había creído popularmente que el papel de cualquier tamaño no podía doblarse más de 8 veces.

Algunos de los teoremas son: 

1. Teorema de Maekawas: señala que la diferencia entre el número de montes y valles para conseguir una superficie plana debe ser siempre 2.
2. Teorema de Kawasaki: La suma de todos ángulos alternos (todos los impares o pares) alrededor de una cúspide formada por pliegues debe ser 180 grados

También existen axiomas relacionados con la geometría del origami definidos por Humiaki Huzita, basados en 6 pliegues básicos que permiten analizar la geometría de cualquier origami, a los que se añadió actualmente un séptimo axioma:

1. Axioma 1: Dados dos puntos P y Q se puede realizar el pliegue que los une. Un único pliegue pasa por 2 puntos P y Q específicos
2. Axioma 2: Dados dos puntos P y Q se puede realizar el pliegue que sitúa a P sobre Q. En otras palabras un único pliegue lleva a un punto P sobre un punto Q.
3. Axioma 3: Dado un punto P y una recta r se puede realizar el pliegue perpendicular a r que pasa por P
4. Axioma 4: Dadas dos rectas r y s se puede realizar un pliegue que sitúe a r sobre s.
5. Axioma 5: Dados dos puntos P y Q y una recta r podemos realizar un pliegue que sitúe a P sobre r y pase por Q.
6. Axioma 6: Dados dos puntos P y Q y dos rectas r y s se puede realizar un pliegue que sitúe a P sobre r y a Q sobre s.
7. Axioma 7: Dados un puntos P y dos rectas r y s se puede realizar un doblez perpendicular a r que coloca al punto P sobre la línea s

Teorema de Haga Es posible encontrar fácilmente la tercera parte de una hoja de papel. Basta doblar una esquina inferior derecha hacia la mitad del segmento superior del cuadrado. Al hacer un pliege la intersección de un borde con otro mostrará la tercera parte de un lado.

El origami además de crear sus propias reglas relacionadas a la geometría euclidiana, también brinda a la educación una herramienta importante para mejorar las capacidades de concentración, memoria, análisis y desarrollo de conceptos geométricos por medio de la activación del pensamiento lógico-espacial y el desarrollo de las destrezas psicomotrices.

Tipos de papel

En el origami tradicional, que ocupa una sola hoja de papel cuadrado, sin tijeras ni pegamento, es muy importante el tipo de papel a utilizar sobre todo en modelos de gran complejidad. Cada doblador debe realizar una búsqueda de papel, hasta dar con el que se sienta más cómodo. Suele ocurrir que se encuentran distintos papeles adecuados para distinto tipo de figuras. En general Michell LaFosse recomienda que el papel sea de grano largo, con fibras pero que estas no sean irregulares. El grano largo ayuda a que el papel no sea quebradizo. Una de las principales razones de las dificultades de los principiantes es doblar con papel 10x10cm, debería partirse con mínimo 20x20cm, las figuras complejas requieren papeles muy grandes como 1 metro x 1 metro, el papel y experiencia es fundamental.

Casi todos los papeles más valorados y que resisten más dobleces, suelen tener fibras largas, esto de nota al romper el papel mientras más largas las fibras mejor será para doblar. Otro criterios son los gramos por metro del papel, figuras con muchas capas y dobleces son muy difíciles de doblar con gramos mayores a 20 gr. Papeles gruesos 40 suelen ser útiles para plegado en húmedo.

• Origamido: Es una marca de papel fabricado en Origamido Studio a cargo de Richard Ale y Michael Lafosse. Es un papel muy caro (550 dólares) hecho a pedido por un artista, el cual participa en el proceso de fabricación de acuerdo a requerimientos muy específicos. También puede adquirirse en una sola tienda en Internet a aproximadamente 11 dólares la hoja. Este papel ocupa distintos tipos de fibras y es teñido con pigmentos naturales. Uno de los creadores del estudio, señala en su libro, que las fibras principales de su papel son el cáñamo (cannabis sativa) y una planta brazileña abaca. Para los insectos robert lang pidió papel 60% abaca y 40% cáñamo. Kamiya en cambio prefiere 50% abaca y 50% cáñamo. Otras combinaciones ocupan 80 % abaca y 20% algodón.

• O-gami: Es una marca de papel artesanal, basado en los típicos componentes que han demostrado tener excelentes características al doblar, abacá y cañamo. Ha adquirido bastante notoriedad últimamente, ya que antes origamido era el único lugar donde encontrar papel para las complejas figuras actuales. Podría considerarse una alternativa al origamido, a precio de 16 dólares la hoja.

• Tant: Es una marca de papel, de varias gamas de colores, no libre de ácido. Usado a veces en plegado en húmedo. Ligeramente grueso

• Washi: Es una palabra para denominar al papel japonés hecho de forma tradicional, en el cual se ocupa la corteza de arbustos como el kozo, gampi y Mitsumata.

• Lokta: Papel elaborado artesanalmente en Nepal.

• Papel sandwitch: Es un papel fabricado artesanalmente con papel seda en una cara, una hoja de aluminio al medio, y en la otra papel seda.

• Papel de envolver: Es aquel papel que se usa para envolver zapatos, camisas, y que a veces se ocupa en embalaje. Suele tener color blanco. Ha demostrado que es útil para hacer figuras complejas dado sus 20 gramos por metro y gran resistencia.

• Papel kraft: También es muy resistente al doblado por sus fibras largas y quienes usan lo ocupan para practicar.

Origami según la pedagogía

Toda innovación del ser humano es para beneficio de él mismo, pese a que no se tenga en mente, para bien o para mal. El origami no es la excepción, pues si se analiza desde una perspectiva más objetiva, se encuentra en los lugares menos pensados, como la pedagogía.

El origami es una gran ayuda en la educación, trayendo a quien lo ejercita grandes beneficios y grandes cualidades, no sólo a los estudiantes que lo realicen, sino también le será bueno a cualquier persona; algunas de ellas son:

• Desarrollar la destreza, exactitud y precisión manual, requiriendo atención y concentración en la elaboración de figuras en papel que se necesite.
• Crear espacios de motivación personal para desarrollar la creatividad y medir el grado de coordinación entre lo real y lo abstracto.
• Incitar al alumno a que sea capaz de crear sus propios modelos.
• Brindar momentos de esparcimiento y distracción.
• Fortalecimiento de la autoestima a través de la elaboración de sus propias creaciones.

Si se incentiva en un niño el trabajo manual desde pequeño, seguramente crecerá desarrollando habilidades artísticas y estará en capacidad de ubicar espacialmente un objeto cualquiera en un papel, acción que muchos niños no pueden hacer, precisamente porque no potenció en los primeros años de su vida el trabajo manual.

Lo ideal es que comiencen una actividad manual a edad temprana, ya que está comprobado que el entrenamiento de los dedos de un bebé acelera el proceso de maduración del cerebro, porque el ejercitar el movimiento de los dedos de ambas manos es realmente una base de desarrollo bilateral del cerebro y el adelanto del desarrollo intelectual, aprovechando que el cerebro está en su mayor plasticidad.

El trabajo de coordinación de ambas manos, el trabajo activo de la inteligencia y la atención es necesaria en el desarrollo y en el empleo del origami porque necesita la memoria, la imaginación y el pensamiento. Como se envuelven las manos activamente en trabajo, hay un masaje natural en la punta de los dedos por turnos saludablemente, afectando el equilibrio dinámico de los procesos de excitación en la corteza cerebral, frenando en las áreas corticales del cerebro. El espectro de movimientos de las palmas y dedos también se extiende por el impulso motor de las zonas de la corteza de los largos hemisferios que están activados. Las ricas comunicaciones del analizador del impulso con varias estructuras del cerebro, permite la actividad se transfiera de últimas. El trabajo de coordinación con las manos, requiere suficiente actividad del cerebro y un armonioso trabajo con las diferentes estructuras.

El origami por su naturaleza es un arte para ambas manos y da una compensación directa en satisfacción de una cierta condición creadora, es por ello que esta técnica servirá de soporte en la formación integral del profesional, adquiriendo así nuevas formas de comunicarse con los demás, e implícitamente crear un ambiente que le permita interactuar con una población determinada.

Origami según la psicología

Ahora relacionemos la rama de la pedagogía con su compañera de siempre: La psicología.

Se ha comprobado que la papiroflexia ayuda a los problemas psíquicos y psicológicos cita requerida, ya que el estar concentrado realizando una actividad manual ayuda al desahogo, estimula los procesos mentales que, su finalidad es alejar al paciente de sus obsesiones y temores. En algunas universidades israelíes se realizan estudios vinculados con estudiantes que presentan déficit atencional y que son fuertemente estimulados mediante el mecanismo de doblar papel; en el Hospital Carlos Holmes Trujillo, deCali, este arte se está utilizando desde hace unos años en el tratamiento de niños con problemas emocionales como dificultades de atención, expresión e hiperactividad.

La papiroflexia utilizada como herramienta o como terapia, en una sesión, se comparten sentimientos y conocimientos, ayuda a resolver los problemas, se experimenta unacomunicación no verbal, un escenario de metas u objetivos, una oportunidad de un acercamiento no amenazante, un apoyo psicológico (llevar al sentimiento de la aceptación cuando se toma tiempo para demostrar lo positivo), una oportunidad para disfrutar y relajar un futuro pasatiempo, entre otras experiencias que se viven cuando se aplica el origami para la rehabilitación del paciente.